Formular TMI

[Thomas Sassmannshausen]

Zitat von Michael Boersch

40 40 40 40 bringt im Durchschnitt 1,762 Tore
80 80 80 80 bringt im Durchschnitt 1,713 Tore
19 19 19 19 bringt im Durchschnitt 1,248 Tore
15 15 15 15 bringt im Durchschnitt 1,579 Tore

Eine Verständnisfrage: Du berechnest offenbar den Erwartungswert einer Binomialverteilung mit n=4. Die gewählte Wahrscheinlichkeit ist aber nicht 10/40 bzw. 10/80, usw., sonst käme bei allen Reihen der Erwartungswert 40 Punkte = 2 Tore raus:

p=10/40, n=4 => EX=1 => Erwartete Punkte = EX*40 = 40 = 2 Tore
p=10/80, n=4 => EX=1/2 => Erwartete Punkte = EX*80 = 40 = 2 Tore
p=10/19, n=4 => EX=40/19 => Erwartete Punkte = EX*19= 40 = 2 Tore
p=10/15, n=4 => EX=8/3 => Erwartete Punkte = EX*15 = 40 = 2 Tore

[Andreas Samjeske]

Zitat von Thomas Sassmannshausen

Eine Verständnisfrage: Du berechnest offenbar den Erwartungswert einer Binomialverteilung mit n=4. Die gewählte Wahrscheinlichkeit ist aber nicht 10/40 bzw. 10/80, usw., sonst käme bei allen Reihen der Erwartungswert 40 Punkte = 2 Tore raus:

p=10/40, n=4 => EX=1 => Erwartete Punkte = EX*40 = 40 = 2 Tore
p=10/80, n=4 => EX=1/2 => Erwartete Punkte = EX*80 = 40 = 2 Tore
p=10/19, n=4 => EX=40/19 => Erwartete Punkte = EX*19= 40 = 2 Tore
p=10/15, n=4 => EX=8/3 => Erwartete Punkte = EX*15 = 40 = 2 Tore

Wo ist denn der Sinn den Erwartungswert in Tore umzurechnen?
Ohne es nachgerechnet zu haben, denke ich, Michael hat die Wahrscheinlichkeiten jeder Kombination errechnet und mit der jeweiligen Toranzahl multipliziert. Die Summe hat er dann angegeben. Brauchste ne Beispielrechung?

[Thomas Sassmannshausen]

Genau das was du beschreibst ist der erwartungswert

Aber gebe mir mal ein beispiel, versuche ja nachzuvollziehen, was er da gerechnet hat

[Andreas Samjeske]

Zitat von Thomas Sassmannshausen

Genau das was du beschreibst ist der erwartungswert

Aber gebe mir mal ein beispiel, versuche ja nachzuvollziehen, was er da gerechnet hat

Du hast den Erwartungswert für QP errechnet und dann in Tore umgerechnet. Damit vernachlässigst du den "Verschnitt" beim Optimizing. Es gilt den Erwartungswert für Tore zu errechnet, indem die die Wahrscheinlichkeit einer jeder Kombi mit den jeweiligen TOREN multiplizierst. Und genau das habe ich geschrieben.
Kleiner, aber feiner Unterschied!

[Thomas Reppel]

Guten Morgen,

zunächst mal: Beide rechnen meiner Meinung nach falsch. Hier mal meine Rechnung:

Annahmen:
(0) Ich tippe stets 4 mal dieselbe Quote.

(1) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 20 zutrifft ist stets (!) 10/20, für eine 40 stets 10/40, usw: Sei Q die Quotenpunktzahl (Q aus [10,90]) W(Q)=10/Q.

(2) Die Ereignisse sind unabhängig

Unter diesen Annahmen berechnen wir die Wahrscheinlichkeit jeweils: Genau kein Treffer, genau ein Treffer, genau zwei Treffer, genau drei Treffer, genau vier Treffer. (n=4, weil 4 Zufallsexperimente = Spiele)
Die Wahrscheinlichkeiten berechnet man mittels der Formel:

P(X=k)=(4 über k) W(Q)^k (1-W(Q))^(4-k)

wobei k die Anzahl der Treffer ist (vgl. bel. Schulbuch zum Thema Binomialverteilung).

Nehmen wir als beispiel die genannte Quoten Q=40. Also W(40)=0,25.

"Alle Treffer falsch": P(X=0)=(1-0,25)^4 = 0,316
d.h. mit 31,6%iger Wahrscheinlichkeit sind alle Tipps falsch und ich schieße 0 Tore (Weil erreichte Quotenpunkte = 0).

"genau ein Treffer": P(X=1)=4*0,25*(1-0,25)^3 = 0,422
d.h. mit 42,2%iger Wahrscheinlichkeit ist genau ein Tipp richtig und ich schieße 2 Tore (weil 40 Quotenpunkte).

"genau zwei Treffer": P(X=2)=6*0,25^2 * (1-0,25)^2 = 0,211
d.h. mit 21,1%iger Wahrscheinlichkeit sind genau zwei Tipps richtig und ich schieße 4 Tore (weil 80 Quotenpunkte).

"genau drei Treffer": P(X=3)=4*0,25^3 * (1-0,25) = 0,047
d.h. mit 4,7%iger Wahrscheinlichkeit sind genau drei Tipps richtig und ich schieße 5 Tore (weil 120 Quotenpunkte).

"genau vier Treffer": P(X=4)=0,25^4 = 0,0039
d.h. mit 0,39%iger Wahrscheinlichkeit sind alle vier Tipps richtig und ich schieße 7 Tore (weil 160 Quotenpunkte).

Jetzt nimmt man die Wahrscheinlichkeiten mit den Geschossenen Toren mal und addiert alle. Somit kommt auf

2*0,42+4*0,21+5*0,047+7*0,0039 = 1,95 (ich habe exakt gerechnet, und am ende erst gerundet).

Vollkommen analog berechnet man:

Quotenpunkte aller 4 Spiele | Erwartete Tore
80 | 1,89
15 | 1,78
19 | 1,38

Übungsaufgabe: Bei welchen beiden Quotenwerten erreiche ich das Maximum?

[Thomas Reppel]

Bei Interesse stelle ich gerne eine Excel-Tabelle zur Verfügung in die man nur die Quote eingibt und als Ergebnis bekomme ich die erwarteten Tore ausgegeben.

[Michael Boersch]

Zitat von Thomas Reppel

Guten Morgen,

zunächst mal: Beide rechnen meiner Meinung nach falsch. Hier mal meine Rechnung:

Annahmen:
(0) Ich tippe stets 4 mal dieselbe Quote.

(1) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 20 zutrifft ist stets (!) 10/20, für eine 40 stets 10/40, usw: Sei Q die Quotenpunktzahl (Q aus [10,90]) W(Q)=10/Q.

(2) Die Ereignisse sind unabhängig

Unter diesen Annahmen berechnen wir die Wahrscheinlichkeit jeweils: Genau kein Treffer, genau ein Treffer, genau zwei Treffer, genau drei Treffer, genau vier Treffer. (n=4, weil 4 Zufallsexperimente = Spiele)
Die Wahrscheinlichkeiten berechnet man mittels der Formel:

P(X=k)=(4 über k) W(Q)^k (1-W(Q))^(4-k)

wobei k die Anzahl der Treffer ist (vgl. bel. Schulbuch zum Thema Binomialverteilung).

Nehmen wir als beispiel die genannte Quoten Q=40. Also W(40)=0,25.

"Alle Treffer falsch": P(X=0)=(1-0,25)^4 = 0,316
d.h. mit 31,6%iger Wahrscheinlichkeit sind alle Tipps falsch und ich schieße 0 Tore (Weil erreichte Quotenpunkte = 0).

"genau ein Treffer": P(X=1)=4*0,25*(1-0,25)^3 = 0,422
d.h. mit 42,2%iger Wahrscheinlichkeit ist genau ein Tipp richtig und ich schieße 2 Tore (weil 40 Quotenpunkte).

"genau zwei Treffer": P(X=2)=6*0,25^2 * (1-0,25)^2 = 0,211
d.h. mit 21,1%iger Wahrscheinlichkeit sind genau zwei Tipps richtig und ich schieße 4 Tore (weil 80 Quotenpunkte).

"genau drei Treffer": P(X=3)=4*0,25^3 * (1-0,25) = 0,047
d.h. mit 4,7%iger Wahrscheinlichkeit sind genau drei Tipps richtig und ich schieße 5 Tore (weil 120 Quotenpunkte).

"genau vier Treffer": P(X=4)=0,25^4 = 0,0039
d.h. mit 0,39%iger Wahrscheinlichkeit sind alle vier Tipps richtig und ich schieße 7 Tore (weil 160 Quotenpunkte).

Jetzt nimmt man die Wahrscheinlichkeiten mit den Geschossenen Toren mal und addiert alle. Somit kommt auf

2*0,42+4*0,21+5*0,047+7*0,0039 = 1,95 (ich habe exakt gerechnet, und am ende erst gerundet).

Vollkommen analog berechnet man:

Quotenpunkte aller 4 Spiele | Erwartete Tore
80 | 1,89
15 | 1,78
19 | 1,38

Übungsaufgabe: Bei welchen beiden Quotenwerten erreiche ich das Maximum?

Dein Ansatz ist doch schon falsch, weil du bei der 40er Quote von einer Wahrscheinlichkeit von 25% ausgehst. Das ist aber beim Tipmaster nie der Fall.

Nur mal ein Beispiel aus dem aktuellen Formular:

Stabaek - Strommen 14 40 55

Laut deiner Wahrscheinlichkeitsermittlung,, also den Kehrwert zu nehmen, kommst du hier auf folgende Wahrscheinlichkeiten:

71,43% + 25,00% + 18,18 % = 114,61 % - kann ja irgendwie nicht sein.

Da ich aber einen durchschnittlichen Payout mit einberechne, ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten, die in Summe dann auch 100% ergeben:

62,36% + 21,83% + 15,87% = 100,05% die kleinen Rundungsdifferenzen schenke ich mir mal.

In diesem Fall hat dann die 40 eine Wahrscheinlichkeit von 21,83%!!!

Letztendlich musst du ja jede Quotereihe neu rechnen. Das ändert aber überhaupt nichts an dem was ich dir eigentlich darlegen wollte. Eine vier mal die 40er Quote ist immer erfolgversprechender, als eine 80er Reihe, danach kommt die 15er und am Ende die 19er Reihe, vorausgesetzt der Payout ist identisch.

Deine Übungsaufgabe sollte dann aber jeder beantworten können. Es gibt nur eine Reihe, bei der du den Maximalwert von 2 Tore pro Spiel erreichst. Leider werden aber diese Spiele nie gespielt.